ROVNICE
A NEROVNICE

Kvadratická rovnice – úlohy

Úlohy k opakování

Úloha 1

Řešte v reálná čísla rovnici .

Určíme O a D.

Pro určení definičního oboru D vyřešíme pomocnou rci .

Diskriminant , proto pomocná rce nemá žádný reálný kořen. Tedy jmenovatel zlomku na levé straně rovnice nikdy nenabývá nulové hodnoty.

Upravíme danou rci na základní tvar.

Jmenovatel je pro každé reálné x nenulový, proto jím můžeme vynásobit obě strany rovnice:

Vypočteme pomocí vzorečku kořeny.

Určíme kořeny poslední rce:

Určíme K.

Zapíšeme .

Nekomplikované řešení rce, které zpestřil jen jmenovatel zlomku v zadání,
který ač obsahuje neznámou x, tak nikdy není nulový a proto platí O = D.

nahoru

Úloha 2

Zjednodušte daný výraz a určete, pro která x má smysl.

Vypočteme kořeny kvadratické rce příslušné k trojčlenu v čitateli prvního zlomku.

Vypočteme kořeny rce:

Někdy se vyplatí pro určení kořenů vhodně použít Vietovy vzorce. Dosadíme-li do vzorečků
a , vyjde nám x1 + x2 = −1 a x1⋅ x2 = 6. Z těchto dvou rovnic je pak
snadné určit, že kořeny budou 2 a −3.

Vypočteme kořeny kvadratické rce příslušné k trojčlenu ve jmenovateli prvního zlomku.

Vypočteme kořeny rce:

Vypočteme kořeny kvadratické rce příslušné k trojčlenu v čitateli druhého zlomku.

Vypočteme kořeny rce:

Vypočteme kořeny kvadratické rce příslušné k trojčlenu ve jmenovateli druhého zlomku.

Vypočteme kořeny rce:

Přepíšeme kvadratické trojčleny v zadání jako součiny lineárních dvojčlenů.

Rozložíme kvadratické trojčleny na součiny lineárních dvojčlenů.

Výrazy zkrátíme.

Určíme podmínky platnosti.

Zakážeme, aby x nabývalo hodnot nulových bodů všech lineárních dvojčlenů, které se nám objevily ve jmenovateli.

Toto byl další z postupově nekomplikovaných příkladů, který kromě základních znalostí rozkladu
kvadratických trojčlenů, vyžaduje jen dostatečnou pozornost a pečlivost při řešení, abychom
neudělali numerické chyby.

nahoru

Testíky

Klikněte na otazník u odpovědi, o které myslíte, že je dobře, a smajlík vám prozradí, zda jste odpověděli správně. U každého příkladu je jen jedna správná možnost.

Rovnice 4x2 = 4 je ekvivalentní s rovnicí:

(2x − 2)2 = 0

x = 1

(2x − 2)(2x + 2) = 0

Určete K pro rovnici x2 = 36, za předpokladu, že O = D = .

K = {6}

K = {−6 ; 6}

K = {−6}

Určete K pro rovnici x2 + 4= 0.

K = {−2 ; 2}

K = {2}

K = {−2}

Určete K pro rovnici x2 + 2x + 1= 0.

K = {−1 ; 1}

K = {−1}

Řešení dalších úloh si můžete vyzkoušet v testu v kapitole za kvadratickými rovnicemi a nerovnicemi.

nahoru