ROVNICE
A NEROVNICE

Vietovy vzorce

Vietovy vzorce

Mezi kořeny x1, x2 a koeficienty a, b, c kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 platí tyto vztahy:

Zdůvodnění tohoto poznatku je velmi jednoduché, stačí si za x1 a x2 dosadit a , tyto výrazy sečíst (či vynásobit) a upravit.

Tyto vzorce se nazývají Vietovy podle francouzského matematika, který se zabýval kvadratickými rovnicemi.

nahoru

Aplikace Vietových vzorců

Mějme kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = 0, která má dva reálné kořeny x1 a x2.

Pak kvadratický trojčlen ax2 + bx + c se dá rozložit na součin lineárních dvojčlenů takto:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). Neboli mohu kvadratickou rci převést na tvar: a(x − x1)(x − x2) = 0.

Chceme-li si předchozí tvrzení ověřit, opět to nebude náročné. Pokud vyjdeme z výrazu
a(x − x1)(x − x2), roznásobíme jej a dosadíme za a za , dostaneme ax2 + bx + c.

Má-li kvadratická rovnice jen jeden kořen x1, pak jej bereme jako tzv. dvojnásobný kořen a výše uvedené tvrzení pro ni platí také s tím, že v rozkladu kvadratického trojčlenu zax2 dosadíme x1. Nemá-li kvadratická rovnice žádné reálné kořeny, pak se trojčlen rozložit nedá.

Této vlastnosti se nejvíce využívá při práci s výrazy, kde se objevují kvadratické trojčleny, a při sestavení kvadratické rovnice, známe-li její kořeny.

nahoru

Ukázky použití

Příklad 1

Upravte daný výraz a určete, kdy má smysl:

Řešení

Podle výše uvedeného návodu rozložíme kvadratické trojčleny v čitateli i jmenovateli na součiny lineárních dvojčlenů. K tomu potřebujeme získat kořeny příslušných kvadratických rovnic.

Vypočteme kořeny rovnice :

Vypočteme kořeny rovnice :

Tedy můžeme kvadratické trojčleny ve zlomku přepsat jako

a tyto výrazy pak dosadit do zlomku, kde pak můžeme krátit.

Na závěr určíme podmínky platnosti výrazu v zadání příkladu. Celý zlomek je definován jen pro ta x, pro která není jmenovatel zlomku nulový. Neboli není definován pro kořeny rce . Ty už jsme ale vypočetli, a tak jednoduše můžeme napsat podmínky platnosti

.

Toto je typický příklad použití Vietových vzorců, resp. rozložení kvadratického trojčlenu na součin
lineárních dvojčlenů. Nezapomeňte ale, že ne každý kvadratický trojčlen se dá takto rozložit!

nahoru