Rovnice a nerovnice

Úlohy k opakování

Úloha 1 Řešte zpaměti v rovnici .: Jaké znaménko mají obě strany rce?

Výraz pod odmocninou je pro všechna vždy kladný, proto .

Levá strana rce nabývá vždy nezáporných hodnot, zatímco pravá je vždy záporná.

Tato rovnost nemůže být nikdy naplněna, a proto .

Úloha 2 Řešte v rovnici .: Určíme O a D.

V zadání úlohy jsou celkem čtyři odmocniny, které v sobě obsahují výraz s neznámou. Musíme tedy určit, jakých hodnot může x nabývat, aby všechny byly definované. Dvě odmocniny obsahují jen x, proto nám bude stačit řešit jen tři nerce a na závěr uděláme jejich konjunkci.

x > 0

Určíme konjunkci podmínek:

Toto je splněno, pokud .

Nyní už můžeme zapsat O a D.

Když už známe definiční obor, můžeme začít řešit rci umocněním obou stran.

Řešenou rci postupně upravujeme, protože se prvním umocněním nezbavíme všech odmocnin, provedeme ještě druhé. Předtím ale v rci osamostatníme výraz s odmocninou na jedné její straně.
Určíme K.

Rovnici sice řešíme pro , vypočtená hodnota x do tohoto intervalu ale patří a tak ji můžeme zařadit do K.

Ačkoliv to výše ve výpočtu nebylo nikde explicitně zmíněno, při každém
umocňování obou stran rce (či nerce při určování podmínek),
jsme si pečlivě hlídali, aby obě strany rce byly vždy nezáporné!

Úloha 3 Řešte v nerovnici .

Zadání nerce obsahuje dvě odmocniny s výrazy s neznámou pod nimi. Vyřešíme soustavu dvou nerovnic s jednou neznámou, abychom získali podmínky pro platnost těchto výrazů.

x > 0

Konjunkcí podmínek získáváme . Nyní už snadno zapíšeme O a D.

Nerovnici před umocněním upravíme tak, abychom na obou stranách měli nezáporné výrazy.

Zatímco pravá strana nerovnice je vždy nezáporná, levá své znaménko mění podle hodnoty x. Rozdělíme tedy další řešení do dvou větví. Nejprve si ale určíme, pro která x bude levá strana nezáporná.

Nyní rozdělíme řešení do dvou větví:

Pro

Levá strana nerce je tedy vždy záporná, zatímco pravá je vždy kladná.

Požadovaná nerovnost tedy není nikdy splněna a .

Obě strany nerce jsou nezáporné a tak je můžeme umocnit.

Vypočteme kořeny příslušné kvadratické rce.

Načrtneme graf příslušné kvadratické funkce a vyznačíme x, která splňují nerovnost.

Podle grafu řeší nerci 4x² − 17x + 4 > 0 všechna

Nesmíme ale zapomenout na omezení hodnot x dané touto větví řešení, které nám říká, že .

Určíme tedy množinu všech řešení v této větvi nerce takto:

Tento težší příklad iracionální nerce dobře ilustruje všechny potřebné znalosti a dovednosti,
které byste si měli z této kapitoly odnést. Pokud si některým krokem nejste jisti, nechápete ho,
zkuste si znovu prostudovat příslušnou teorii v předchozích kapitolách,
nebo využijte doporučenou literaturu, kde najdete další výklad a vzorová řešení.

Testíky

Klikněte na otazník u odpovědi, o které myslíte, že je dobře, a smajlík vám prozradí, zda jste odpověděli správně. U každého příkladu je jen jedna správná možnost.

Určete D pro rovnici , kterou řešíme v .	Určete D pro rovnici , kterou řešíme v .
Určete D pro rovnici , kterou řešíme v .	Určete D pro nerovnici , kterou řešíme v .