ROVNICE
A NEROVNICE

Soustavy rovnic – úlohy

Úlohy k opakování

Úloha 1

Řešte v soustavu rovnic:

Určíme O, D a obě rovnice v soustavě převedeme na základní tvar.

O = D =

Převedeme ekvivalentními úpravami obě rovnice na základní tvar.

Vypočteme x sčítací metodou.

Před použitím sčítací metody si obě rovnice v soustavě ještě trochu upravíme.

Dopočteme y dosazením.

Dosadíme vypočtenou hodnotu x do první rovnice těsně před sečtením rovnic.

Zapíšeme K.

Z vypočtených hodnot x a y vytvoříme uspořádanou dvojici a zapíšeme K.

Tuto jednoduchou soustavu dvou rovnic s dvěma neznámými komplikoval snad jen úvod,
kdy jsme museli soustavu upravit na základní tvar.

nahoru

Úloha 2

Řešte v soustavu rovnic

Určíme O, D a začneme soustavu řešit Gaussovou eliminační metodou.

O = D =

Při řešení této soustavy Gaussovou eliminační metodou necháme první rovnici tak jak je zadána. Její koeficient u x je 1 a to se nám hodí.

Vypočteme x, y, z.

Vypočteme nejprve hodnotu z, pak y, a na závěr x.

z = 3
Zapíšeme K.

Řešení pomocí Gaussovy eliminační metody je často velmi rychlé a efektivní. Pokud máme
v soustavě zadány rovnice, které neobsahují některé neznámé, můžeme je v algoritmu
této metody efektivně využít. V této úloze jsme toto využili u třetí rce,
kterou jsme v první kroku metody nechali bez úprav.

nahoru

Úloha 3

Řešte v soustavu rovnic:

Určíme O a D a začneme soustavu řešit dosazovací metodou.

O = D =

Kdybychom chtěli z druhé rovnice vyjádřit třeba x, museli bychom celou rci vydělit y. Hodnota proměnné y by ale mohla být nulová a dělit rovnici nulou je zakázaná úprava. Rozdělíme tedy řešení soustavy do dvou větví.

Co když y = 0?

Pro y = 0 nemůžeme druhou rovnici vydělit y, ale všimneme si, že soustava nemá žádné řešení. Po dosazení této hodnoty za y do druhé rce, získáme rci 0x = 210, která nám tvrzení o neřešitelnosti této soustavy potvrzuje.

Co když y ≠ 0?

Je-li y ≠ 0, pak z druhé rovnice můžeme vyjádřit x a dosadit ho do první rovnice

Vyřešníme bikvadratickou rci substitucí [y2 = t].

Získali jsme bikvadratickou rci, která se nejlépe řeší substitucí [y2 = t]

Vypočtené hodnoty t dosadíme zpět do předpisu substituce a vypočítáme příslušná y.

Pro vypočtené hodnoty y dopočteme příslušná x.

Pro vypočtené hodnoty y dopočteme příslušná x dosazením do druhé zadané rce.

pro y = 15

pro y = −15

pro y = 14

pro y = −14

Zapíšeme K.

V množině všech řešení dané soustavy K nakonec budou čtyři uspořádané dvojice.

Tato soustava v sobě ukrývala bikvadratickou rovnici. V soustavách dvou rovnic,
z nichž je alespoň jedna kvadratická, je tato "zákeřnost" poměrně běžná
a je tedy vhodné umět tyto speciální rovnice 4. stupně řešit.

nahoru

Testíky

Klikněte na otazník u odpovědi, o které myslíte, že je dobře, a smajlík vám prozradí, zda jste odpověděli správně. U každého příkladu je jen jedna správná možnost.

Určete kolik má daná soustava řešení v :

soustava nemá žádné řešení

soustava má právě jedno řešení

soustava má nekonečně mnoho řešení

Určete kolik má daná soustava řešení v :

soustava nemá žádné řešení

soustava má právě jedno řešení

soustava má nekonečně mnoho řešení

Určete kolik má daná soustava řešení v :

soustava nemá žádné řešení

soustava má právě jedno řešení

soustava má nekonečně mnoho řešení

Určete kolik má daná soustava řešení v :

soustava nemá žádné řešení

soustava má právě jedno řešení

soustava má nekonečně mnoho řešení

Řešení dalších úloh si můžete vyzkoušet v testu v následující kapitole.

nahoru